1. Support d’une fonction

Le support d’une fonction à valeurs complexes définie sur $\mathbb{R}$ est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel cette fonction est nulle.

Citons deux exemples simples :

1. La fonction caractéristique $\chi$ : $$\chi~:~\qquad\text{support}~\chi_{0,1}=[0,1]$$

2. La fonction échelon de Heaviside : $$Y~:~\qquad\text{support}~Y=[0,+\infty[$$

2. Espace $\mathcal D$ des fonctions test $\varphi$

$\mathcal D$ est l’espace des fonctions complexes définies sur $\mathbb R$ indéfiniment dérivables à support borné. Dans ce qui suit, on ne cherchera pas à déterminer ces fonctions : celles-ci portent le nom de fonctions test et elles agissent en auxiliaires.

Leurs propriétés sont remarquables pour leur association passagère à d’autres fonctions :

1. $\mathcal{D}$ est un espace vectoriel de dimension infinie.

2. Si $\varphi\in\mathcal{D}$, alors sa dérivée $\varphi'\in\mathcal{D}$.

3. Si $\varphi\in\mathcal{D}$ et si $\alpha~: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ est indéfiniment dérivable, alors $\alpha.\varphi\in\mathcal{D}$.

En effet, $\alpha.\varphi$ est indéfiniment dérivable et : support($\alpha.\varphi)\subset$ support($\varphi)$.

2.1. Topologie dans $\mathcal{D}$

Une suite $\varphi_n$ ($n$ > 0) de fonctions de $\mathcal{D}$ converge vers une fonction $\varphi\in\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers l’infini si :

1. Il existe un ensemble borné $B\subset\mathbb{R}$ tel que $\forall n\in \mathbb N$, support $(\varphi_n) \in B$.

2. Pour tout entier $k\geq 0$, la suite des dérivées $\varphi_n^{(k)}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ quand $n$ tend vers l’infini vers la dérivée correspondante $\varphi^{(k)}$.

   On notera qu’à chaque ordre k (et pas pour tous les k à la fois), il y a convergence uniforme.

3. Espace $\mathcal{D'}$ des distributions

Une distribution $T$ est une fonctionnelle linéaire continue sur l’espace vectoriel $\mathcal{D}$.

À tout $\varphi\subset\mathcal{D}$ , on associe le nombre complexe noté $T(\varphi)$ ou en général $\langle T,\varphi\rangle$ par les crochets de dualité :

$$\begin{aligned} &\varphi\subset\mathcal{D}~\xrightarrow{~~T~~}~\langle T,\varphi\rangle\in\mathbb{C}\\ &\forall\varphi\in\mathcal{D},~\forall\psi\in\mathcal{D},~\forall\lambda\in\mathcal{D}~:\qquad \langle T,\varphi+\lambda.\psi\rangle~=~\langle T,\varphi\rangle + \lambda\langle T,\psi\rangle\end{aligned}$$

Soit $\varphi_{n>0}$ une suite d’éléments de $\mathcal{D}$.

Si $\varphi\in\mathcal{D}$ et si $\{\varphi_n\rightarrow\varphi\}_{n\rightarrow\infty}$ , alors la suite des nombres complexes $\langle T,\varphi_n\rangle$ converge vers le nombre $\langle T,\varphi\rangle$ : $$\varphi_n\xrightarrow{~~D~~}\varphi\qquad\Rightarrow\qquad lim_{n\rightarrow\infty}~\big[\langle T,\varphi_n\rangle\big]=\langle T,\varphi\rangle$$

L’ensemble des distributions, noté $\mathcal{D'}$, est un espace vectoriel :

Pour $S\in\mathcal{D'},~T\in\mathcal{D'},~\varphi\in\mathcal{D},~\lambda\in\mathbb{C}$ :

$$\begin{aligned} \langle S+T,\varphi\rangle &= \langle S,\varphi>+<T,\varphi\rangle\\ \langle\lambda.S,\varphi\rangle &= \lambda.\langle S,\varphi\rangle\end{aligned}$$

$\mathcal{D'}$ est donc une partie du dual algébrique de $\mathcal{D}$.

4. Cas particuliers

4.1. Fonction localement intégrable

Soit la fonction $f~:~\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ : $$\forall a,b\in\mathbb{R}~;~ a<b\qquad \int\limits_a^b|f(t)|~dt<+\infty$$

On lui associe une distribution $T_f$ : $$\langle T_f,\varphi\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)~\varphi(t)~dt\qquad \varphi\in\mathcal{D}$$

Cette intégrale a un sens, car $\varphi$ est nulle à l’extérieur d’un ensemble borné.

4.2. Distribution de Dirac $\delta$

La distribution de Dirac $\delta$ est définie par :

$$\begin{aligned} \langle\delta,\varphi\rangle &= \varphi(0)\\ \langle\delta_{(a)},\varphi\rangle &= \varphi(a)\end{aligned}$$

Elle peut être physiquement interprétée comme une masse (ou une charge) ponctuelle de valeur unité à l’origine (notation $\delta$) ou plus généralement en un point d’abscisse $a$ (notation $\delta_a$ ou $\delta_{(a)}$).

4.3. Valeur principale (VP)

Pour la facilité de l’exposé, nous raisonnons sur un exemple.

La distribution valeur principale de $\Big(\cfrac{1}{x}\Big)$, notée $vp~\Big(\cfrac{1}{x}\Big)$, est définie par :

$$\begin{aligned} \big\langle vp\Big(\frac{1}{t}\Big),\varphi\big\rangle~&=~lim~_{\epsilon>0\rightarrow 0}~\bigg\{\int\limits_{|t|>\epsilon]}\frac{\varphi(t)}{t}~dt\bigg\}\\ &=~lim~_{\epsilon>0\rightarrow 0}~\bigg\{\int\limits_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{\varphi(t)}{t}~dt+\int\limits_{+\epsilon}^{+\infty}\frac{\varphi(t)}{t}~dt\bigg\}\end{aligned}$$

Le calcul est ramené à la somme de deux intégrales, la valeur intermédiaire $(t=0)$ ayant été exclue.

Vérifions succinctement la légitimité de ce subterfuge en s’assurant que cette valeur principale est une distribution tempérée pour tout $R>0$ . On peut écrire : $$\int\limits_{|t|>\epsilon]}\frac{\varphi(t)}{t}~dt~=\int\limits_{\epsilon<|t|<R}\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}~dt+\int\limits_{|t|>R}\frac{\varphi(t)}{t}~dt$$

$\varphi\in\mathcal{D}$ étant bornée et $[\varphi(t)-\varphi(0)] / t$ ayant une limite (la dérivée), l’égalité ci-dessus prouve que l’intégrale précédente a bien une limite quand $\epsilon$ tend vers 0.

On peut d’ailleurs écrire : $$\big\langle vp\Big(\frac{1}{t}\Big),\varphi\big\rangle~=\int\limits_{-R}^{+R}\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}~dt$$