1. Algèbre extérieure d’ordre 2 sur un espace vectoriel

Prenons l’espace $\mathbb{R}^3$ et deux vecteurs $x$ et $y$ de cet espace.

Nous définissons le produit extérieur de $x$ et $y$ par :

$$\begin{aligned} x\times y&=-y\times x\\ \lambda~(x\times y)&=\lambda~x\times y\\ (x_1+x_2)\times y&=(x_1\times y)+(x_2\times y)\end{aligned}$$

Ce produit peut être interprété comme l’élément de surface orientée construit sur $[x,y]$ .

2. Algèbre extérieure d’ordre 3

L’algèbre extérieure d’ordre 3 est en fait le produit mixte, défini de la manière suivante :

$$\begin{aligned} (x,~y,~z)&=-(y,~x,~z)\\ (\lambda~x,~y,~z)&=\lambda~(x,~y,~z)\\ (x_1+x_2,~y,~z)&=(x_1,~y,~z)+(x_2,~y,~z)\end{aligned}$$

3. Formes différentielles extérieures dites de Pfaff

Une forme de Pfaff d’ordre 1 est du type : $$\omega=P~dx+Q~dy$$

Cette forme n’est pas, en général, la différentielle d’une fonction $f$.

Considérons à présent deux formes de Pfaff :

$$\begin{aligned} \omega&=P~dx+Q~dy\\ \omega_1&=P_1~dx+Q_1~dy\end{aligned}$$

Leur produit extérieur est : $$\omega\times\omega_1=(P~dx+Q~dy)\times(P_1~dx+Q_1~dy)$$

En développant : $$\omega\times\omega_1=P~P_1~(dx\times dx)+Q~P_1~(dy\times dx)+P~Q_1~(dx\times dy)+Q~Q_1~(dy\times dy)$$

Mais on sait que :

$$\begin{aligned} &dx\times dx=dy\times dy=0\\ &dy\times dx=- dx\times dy\end{aligned}$$

Il vient alors : $$\omega\times\omega_1=(P~Q_1-Q~P_1)~dx\times dy=\Omega$$

Il s’agit d’une forme extérieure d’ordre 2.

Dans l’espace à 3 dimensions, on ne peut construire que des formes extérieures d’ordre 3.

4. Différentielle extérieure d’une forme différentielle extérieure

Considérons la forme d’ordre 1 : $$\Omega=P~dx+Q~dy+R~dz$$

On définit : $$D\Omega=(dP\times dx)+(dQ\times dy)+(dR\times dz)$$

Soit sous la forme analytique : $$D\Omega=\Big\{\frac{\partial P}{\partial x}~dx+\frac{\partial P}{\partial y}~dy+\frac{\partial P}{\partial z}~dz\Big\}\times dx+\dots$$

Et, après développement : $$D\Omega=\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)~dx\times y+\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Big)~dy\times dz+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Big)~dz\times dy$$

On reconnaît les composantes du rotationnel : $$D\Omega=\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{V})\cdot\overrightarrow{n}~ds$$

Considérons à présent une forme d’ordre 2 :

Elle correspond à $\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{n}~ds$, c’est-à-dire : $$\Omega=P~(dx\times dz)+Q~(dz\times dx)+R~(dx\times dy)$$

En différentiant : $$D\Omega=(dP,~dy,~dz)+(dQ,~dz,~dx)+(dR,~dx,~dy)$$

C’est à dire : $$D\Omega=\frac{\partial P}{\partial x}~(dx,~dy,~dz)+\frac{\partial Q}{\partial y}~(dy,~dz,~dx)+\frac{\partial R}{\partial z}~(dz,~dx,~dy)$$

On reconnaît l’expression : $$D\Omega={\rm div}(\overrightarrow{V})~d\tau$$

5. Écriture symbolique des intégrales

Formule de Green-Ostrogradsky

Expression classique : $$\iiint\limits_V={\rm div}(\overrightarrow{V})~d\tau=\iint\limits_S\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{n}~ds$$

Expression symbolique : $$\iiint\limits_RD\Omega=\iint\limits_{\partial R}\Omega \qquad\partial R=\text{bord de}~R$$

Formules de Stokes

Expression classique : $$\iint\limits_S\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{n}~ds=\int_C\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{dl}=P~dx+Q~dy+R~dz$$

Expression symbolique : $$\iint\limits_R D\Omega=\int\limits_{\partial R}\Omega\qquad\partial R=\text{bord de}~R$$

Remarque

Toutes ces formes peuvent être ramenées à une forme unique.

Si nous avons un espace vectoriel orienté à n dimensions sur lequel on peut définir des éléments de volume : $$\iint\limits_{p\leq n}\dots\int\limits_RD\Omega=\int\limits_{p-1}\dots.\int\limits_{\partial R}\Omega$$