1. Exercice 1

1.1. Énoncé

Calculer le rayonnement d’un dipôle de longueur  $l~=~p~\cfrac{\lambda}{2}~,~~p$ entier excité par une onde stationnaire de courant.

1.2. Réponse

Rappelons l’expression du champ électrique (doublet de Hertz) : $$dE=\frac{60\pi}{r~\lambda}~I~\exp\Big\{j~\omega~\Big(t-\frac{r}{v}\Big)\Big\}~\sin\theta~dx$$

Le champ produit par un dipôle de longueur finie $l$ s’obtient par intégration : $$E=\int_0^l dE$$

Comme le courant est celui d’une onde stationnaire, son amplitude a pour expression : $$I~=~I_0~\sin\frac{2\pi~x}{\lambda}$$

$x$ est compté à partir du nœud de courant situé en $O$.

On peut admettre l’approximation : $$MP\approx r_0+x~\cos\theta$$

On a alors : $$|E|=\frac{30}{r}~\sin\theta~I_0~|A|$$

$A$ étant l’expression intégrale : $$A=\int_0^l\sin\frac{2\pi~x}{\lambda}~\exp\Big(-j~\frac{2\pi~x~\cos\theta}{\lambda}~\Big)~dx$$

Pour calculer cette intégrale, on lui associe son intégrale complémentaire $B$ : $$B=\int_0^l\cos\frac{2\pi~x}{\lambda}~\exp\Big(-j~\frac{2\pi~x~\cos\theta}{\lambda}~\Big)~dx$$

On intègre alors $B+j~A$, donc sur une simple exponentielle à l’argument un peu long.

Noter de plus que : $$\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}$$

Il suffit d’extraire la partie imaginaire du résultat.

Tous calculs faits :

$$\begin{aligned} A~\sin^2\theta&=1-\cos u~\cos(u\cos\theta)-\cos\theta~\sin u~\sin(u\cos\theta)\\ &+j~\cos u~\sin(u\cos\theta)-j~\cos\theta~\sin u~\cos(u\cos\theta)\end{aligned}$$

Et en ayant posé : $$l=p~\frac{\lambda}{2}\quad\text{et}\quad u=\frac{2\pi}{\lambda}~l=p~\pi$$

On obtient : $$|A|^2~\sin^4\theta=2~\{1-\cos u\cos(u\cos\theta)\}$$

Et en définitive :

$p$ impair :

$$\begin{aligned} \cos u&=-1\\ |E|&=\frac{60}{r}~I_0~\frac{\cos\cfrac{p~\pi}{2}~\cos\theta}{\sin\theta}\end{aligned}$$

$p$ impair :

$$\begin{aligned} \cos u&=1\\ |E|&=\frac{60}{r}~I_0~\frac{\sin\cfrac{p~\pi}{2}~\cos\theta}{\sin\theta}\end{aligned}$$

2. Exercice 2

2.1. Énoncé

Calculer la résistance de rayonnement d’un dipôle $\cfrac{\lambda}{4}$ (onde stationnaire de courant).

2.2. Réponse

La résistance de rayonnement s’obtient en écrivant que la puissance $RI_{eff}^2$ dépensée dans l’antenne est égale au flux du vecteur de Poynting $P$ à travers une surface $S$ entourant l’antenne.

On peut toujours prendre comme surface $S$ une sphère de rayon $r$ centrée sur l’antenne.

Expression de l’élément de surface : $$dS=2\pi~r\sin\theta~r~d\theta$$

Expression du vecteur de Poynting : $$P_{eff}=E_{eff}\wedge H_{eff}=\frac{E_{eff}\wedge E_{eff}}{120\pi}=\frac{E_{eff}^2}{120\pi}$$

Expression du flux élémentaire : $$P_{eff}~dS=\frac{r^2}{60}~\sin\theta~E_{eff}^2~d\theta$$

En se référant à l’exercice précédent (intégrale $A$), on a pareillement : $$E_{eff}=\frac{30}{r}\sin\theta~I_{eff}~|A|$$

$A$ étant l’intégrale : $$\int_0^{2\pi~l/\lambda}\sin u~\exp(-j~u\cos\theta)~du$$

On a alors : $$RI_{eff}^2=\iint P_{eff}~dS=2\int_0^{\pi/2}\frac{r^2}{60}~\sin\theta~\frac{900}{r^2}~\sin^2\theta~I_{eff}^2~|A|^2~d\theta$$

Ce qui donne : $$R=30\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta~|A|^2~d\theta$$

On connaît l’expression de $|A|^2$ (cf. exercice précédent) : $$|A|^2\sin^4\theta=2~\{1-\cos u~\cos(u~\cos\theta)\}$$

en y faisant  $u=\cfrac{\pi}{2}$.

On obtient ainsi : $$R=30\int_0^{\pi/2}\frac{1-2~\cos\theta~\sin\Big(\cfrac{\pi}{2}~\cos\theta\Big)+\cos^2\theta}{\sin\theta}~d\theta$$

Une évaluation graphique de l’intégrale donne la valeur $0,66$.

D’où $R\approx 20~\Omega$.