1. Introduction

Pour transmettre à distance une information concrétisée par un signal \(m(t)\) dont le spectre se situe dans le domaine des basses fréquences, par exemple un signal de parole dans la bande de 0 à 4 kHz, il est souvent nécessaire de translater cette information dans le domaine fréquentiel.

On génère ainsi un nouveau signal \(s(t)\), porteur de la même information, mais situé beaucoup plus haut dans l’échelle des fréquences. On utilise pour cela le principe de la modulation d’une onde porteuse de fréquence \(f_0\) (modulation d’amplitude, de phase ou de fréquence) par le signal \(m(t)\) qui génère un signal \(s(t)\) dont le spectre, relativement étroit, se situe autour de la fréquence \(f_0\). Ce type de signal est appelé signal à bande étroite.

Pour faciliter la description mathématique et la modélisation de ce type de signal, on a défini la notion d’enveloppe complexe associée à un signal réel à bande étroite. L’objectif de ce chapitre est de définir cette notion nouvelle. Pour cela nous utiliserons la transformée de Hilbert d’un signal ainsi que la notion de signal analytique associé à un signal réel.

2. Transformation de Hilbert

Soit un signal \(x(t)\) dont la transformée de Fourier est \(X(f)\). On appelle transformé de Hilbert de ce signal le signal défini par la relation : \[\widehat{x}(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(u)}{t-u}~du \quad \text{ou encore~:} \quad \widehat{x}(t)= x(t)\star \frac{1}{\pi t}\]

En toute rigueur et d’un point de vue mathématique, cette intégrale doit être prise au sens de la valeur principale de Cauchy : \[\widehat{x}(t)=\frac{1}{\pi} lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left\{\int_{+\varepsilon}^{+\infty}\frac{x(u)}{t-u}~du+\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(u)}{t-u}~du \right\}\]

Alors, \(\widehat{x}(t)\) peut être interprété comme un produit de convolution, mais sous une forme particulière introduisant la notion de valeur principale de Cauchy : \[\begin{aligned} \widehat{x}(t)&=x(t)\star vp\frac{1}{t}\\ \langle vp\frac{1}{t},\varphi\rangle&=lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left\{\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{\varphi(t)}{t}~dt+\int_{-\varepsilon}^{+\infty}\frac{\varphi(t)}{t}~dt\right\}\end{aligned}\]

Cette transformation étant régie par un opérateur de convolution, elle peut donc être interprétée comme un filtrage linéaire et invariant dans le temps (filtre de Hilbert).

La réponse impulsionnelle d’un filtre de Hilbert est donc : \[h(t)=\frac{1}{\pi~t}\]

Remarque

La fonction \(h(t)\) étant non causale, le filtre de Hilbert est lui-même non causal donc non réalisable (dans la pratique, on en réalise des approximations sur des bandes de fréquences limitées). Nous admettrons que sa fonction de transfert est : \[H(f)=TF\big\{\frac{1}{\pi t}\big\}=-j.sgn(f)\]

Avec : \[\begin{aligned} sgn(f)=-1 \qquad f<0\\ sgn(f)=+1 \qquad f>0\end{aligned}\]

Il s’agit d’un filtre déphaseur pur appelé encore filtre en quadrature.

En désignant par : \[\widehat{X}(f)=TF\big\{\widehat{x}(t)\big\}\]

On écrira que : \[\widehat{X}(f)=\{-j.sgn(f)\}~X(f)\]

Sur le graphe, sont représentés en rouge le module de \(|H(f)|\) et en bleu la phase.

Application

On se propose de calculer la transformée de Hilbert de \(x(t)=a\cos(2\pi f_0t)\).
Calculons les transformées de Fourier respectives : \[\begin{aligned} x(t)&=a\cos(2\pi f_0t) ~\quad \xrightarrow{TF} \quad ~~ X(f)=\frac{a}{2}\big[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\big]\\ \widehat{x}(t)&=a\sin(2\pi f_0t) \quad \xrightarrow{TF^{-1}} \quad \widehat{X}(f)=\{-j.sgn(f)\}~\frac{a}{2}\big[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\big]\end{aligned}\]

C’est-à-dire, par la transformation de Hilbert : \[\widehat{x}(t)=a\sin(2\pi f_0t) \quad \xrightarrow{TH} \quad \widehat{X}(f)=-j\frac{a}{2}\big[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\big]\]

Propriété

Nous énoncerons sans démonstration une propriété intéressante de la transformation de Hilbert. Soient deux signaux \(m(t\)) et \(p(t)\) de spectres respectifs \(M(f)\) et \(P(f)\) à supports disjoints : l’un de ces signaux \(m(t)\) se situant dans le domaine des basses fréquences et l’autre \(p(t)\) dans le domaine des hautes fréquences.

On peut montrer que : \[m(t) . p(t) \quad \xrightarrow{TH} \quad m(t) . \widehat{p}(t)\]

3. Signal analytique associé à un signal réel

Soit un signal \(x(t)\) réel possédant une transformée de Fourier \(X(f)\). Le signal \(x(t)\) étant réel, nous savons que \(X(f)\) possède la symétrie hermitienne : \[X(-f)=\overline{X}(f)\]

Donc la connaissance de \(X(f)\) sur le seul domaine des fréquences positives caractérise complètement le signal \(x(t)\). Il est donc possible d’associer à un signal réel \(x(t)\), et de manière biunivoque, un signal \(z_x(t)\) dont la transformée \(Z_X(f)\) est égale à \(X(f)\) sur le domaine des fréquences positives et nulle sur le domaine des fréquences négatives :

Plus précisément,\(Z_X(f)\) est définie par : \[Z_X(f)=\left\{ \begin{aligned} &2~X(f) &\quad f>0\\ &0 &\quad f<0 \end{aligned} \right.\]

Le coefficient 2 n’est introduit que pour des raisons de conservation d’énergie ou de puissance.

Le signal \(z_x(t)\) est appelé signal analytique associé au signal réel \(x(t)\). Nous pouvons déjà remarquer que sa transformée de Fourier ne possède pas, par construction même, la propriété de symétrie hermitienne. Il s’agit donc d’un signal purement complexe.

Calculons son expression temporelle \(z_x(t)\) : \[Z_X(f)=\left\{ \begin{aligned} &X(f)+X(f) &\quad f>0\\ &X(f)-X(f) &\quad f<0 \end{aligned} \right.\]

En écriture condensée : \[Z_X(f)=X(f)+sgn(f)~X(f)=X(f)-i^2~sgn(f)~X(f)\]

Avec une autre écriture : \[Z_X(f)=X(f)-i~\big[i~sgn(f)~X(f)\big]\]

C’est-à-dire : \[Z_X(f)=X(f)+i~\widehat{X}(f)\]

Dont la transformée de Fourier est : \[z_x(t)=x(t)+i~\widehat{x}(t)\]

Le signal \(x(t)\) étant réel par hypothèse, sa transformée de Hilbert l’est également. On en déduit immédiatement la relation réciproque : \[x(t)=\mathfrak{R}\{z_x(t)\}\]

4. Enveloppe complexe d’un signal bande étroite

On appelle enveloppe complexe (ou amplitude complexe) d’un signal réel bande étroite \(x(t)\) le signal \(\gamma_x(t)\) dont la transformée de Fourier \(\Gamma_x(f)\) est définie par : \[\Gamma_x(f)=Z_x(f+f_0)\]

\(Z_x(f)\) est la transformée de Fourier du signal analytique associé à \(x(t)\).

\(\Gamma_x(f)\) est la translatée du spectre d’une quantité \(-f_0\). Comme on peut le remarquer sur la figure, \(\Gamma_x(f)\) est un signal a priori complexe et à basse fréquence.

En appliquant la transformation de Fourier inverse à \(\Gamma_x(f)\), on obtient : \[\gamma_x(t)=z_x(t)~e^{-j2\pi f_0t}\]

\(x(t)\) et \(\widehat{x}(t)\) étant réels, on en déduit la relation réciproque : \[x(t)=\mathfrak{R}\{\gamma_x(t)~e^{+j2\pi f_0t}\}\]

Le signal \(\gamma_x(t)\) est a priori un signal complexe. On peut donc le décomposer soit en module et argument, soit en partie réelle et partie imaginaire. Ces deux écritures possibles de \(\gamma_x(t)\) vont nous fournir deux représentations différentes d’un signal réel à bande étroite.

4.1. Représentation module & argument

Écrivons que : \[\gamma_x(t)=|\gamma_x(t)|~e^{j.Arg(\gamma)}\]

Ceci entraine : \[x(t)=|\gamma_x(t)|\cos\big[2\pi f_0t+Arg(\gamma_x(t))\big]\]

\(\gamma_x(t)\) étant un signal basse fréquence, donc à variations lentes par rapport à \(f_0\), la relation précédente permet d’interpréter un signal bande étroite comme étant un signal sinusoïdal de fréquence \(f_0\), d’amplitude maximale \(|\gamma_x(t)|\) variable et à variation lente et de phase initiale \(Arg\big[\gamma_x(t)\big]\) variable et à variation lente également.
On peut alors définir : \[\begin{aligned} &\text{Enveloppe instantanée de }x(t)~:&& |\gamma_x(t)| \\ &\text{Phase instantanée de }x(t)~:&& \Theta(t)=2\pi f_0t+Arg\big[\gamma_x(t)\big] \\ &\text{Fréquence instantanée de }x(t)~:&& f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Theta}{dt}=f_0+\frac{1}{2\pi}\frac{d\big[Arg(\gamma_x(t)\big]}{dt}\end{aligned}\]

En résumé, un signal à bande étroite peut être interprété comme un signal sinusoïdal modulé en amplitude et / ou modulé en phase ou en fréquence.

4.2. Représentation partie réelle & partie imaginaire

Reprenons la relation : \[x(t)=\mathfrak{R}\{\gamma_x(t)~e^{+j2\pi f_0t}\}\]

Et posons : \[\gamma_x(t)=p_x(t)+j~q_x(t)\]

On en déduit une autre expression du signal à bande étroite : \[x(t)=p_x(t)~\cos(2\pi f_0t)-q_x(t)~sin(2\pi f_0t)\]

Expression dans laquelle il apparaît deux paramètres nouveaux : \[\begin{aligned} &\text{La composante en phase de }x(t)~:& p_x(t)&=\mathfrak{R}\big[\gamma_x(t)\big] \\ &\text{La composante en quadrature de }x(t)~:& q_x(t)&=\mathfrak{J}\big[\gamma_x(t)\big]\end{aligned}\]

On notera que ces deux composantes sont des signaux basse fréquence.

5. Enveloppe complexe d’un signal bande étroite aléatoire

Soit \(x(t)\) un signal réel, bande étroite, aléatoire, stationnaire d’ordre 2 et centré, de DSP notée \(S_{xx}(f)\) . Par analogie avec le cas déterministe, on définit son enveloppe complexe \(\gamma_x(f)\) : \[\gamma_x(t)=z_x(t)~e^{-j2\pi f_0t)}=\big[x(t)+j\widehat{x}(t)\big]~e^{-j2\pi f_0t}\]

\(x(t)\) étant un processus aléatoire, il en est de même pour \(\widehat{x}(t)\) et \(\gamma_x(t)\). Nous allons montrer que \(\gamma_x(t)\) est stationnaire d’ordre 2 et centré et calculer sa DSP \(S_{yy}(f)\).

Montrons tout d’abord que \(\gamma_x(t)\) est un processus aléatoire centré : \[E\big[\gamma_x(t)\big]=\big\{E\big[x(t)\big]+j~E\big[\widehat{x}(t)\big]\big\}~e^{-j2\pi f_0t}\]

Car (processus centrés) : \(E\big[x(t)\big]=E\big[\widehat{x}(t)\big]=0\)

Pour calculer la DSP, il faut déjà connaître la fonction d’auto-corrélation : \[\begin{aligned} R_{\gamma\gamma}(t,\tau)&=E\big[\gamma_x(t)~\overline{\gamma_x(t-\tau)}\big]\\ &=E\big\{\big[x(t)+j~\widehat{x}(t)\big]~e^{-j2\pi f_0t}~.~\big[x(t)-j\widehat{x}(t-\tau)\big]~e^{+j2\pi f_0(t-\tau)}\big\}\\ &=e^{-j2\pi f_0\tau}\big\{\big[R_{xx}(\tau)+R_{\widehat{x}\widehat{x}}(\tau)\big]+j~\big[R_{\widehat{x}x}(\tau)-R_{x\widehat{x}}(\tau)\big]\big\}\end{aligned}\]

Grâce au théorème des interférences, on montre que \(x(t)\) et \(\widehat{x}(t)\) sont mutuellement stationnaires : \[\begin{aligned} S_{\widehat{x}x}(f)=-j~sgn(f)~S_{xx}(f)\\ S_{x\widehat{x}}(f)=+j~sgn(f)~S_{xx}(f)\end{aligned}\]

On en déduit donc que \(\gamma_x(t)\) est stationnaire à l’ordre 2 et que, en appliquant la transformation de Fourier à la fonction d’auto-corrélation : \[S_{\gamma\gamma}(f)=\delta(f+f_0)\star\big\{\big[S_{xx}(f)+S_{\widehat{x}\widehat{x}}(f)\big]+j~\big[S_{\widehat{x}x}(f)-S_{x\widehat{x}}(f)\big]\big\}\]

Or : \[S_{\widehat{x}\widehat{x}}(f)=|-j~sgn(f)|^2~S_{xx}(f)=S_{xx}(f)\]

On a donc : \[S_{\gamma\gamma}(f)=\delta(f+f_0)\star\big[2~S_{xx}(f)+2~sgn(f)~S_{xx}(f)\big]\]

Or : \[S_{xx}(f)+sgn(f)~S_{xx}(f)=2~S_{xx}^+(f)\]

Expression dans laquelle \(S_{xx}^+\) désigne la partie de \(S_{xx}(f)\) située dans le domaine des fréquences positives.

En définitive : \[S_{\gamma\gamma}(f)=4~S_{xx}^+(f+f_0)\]

5.1. Composantes en phase et en quadrature

Le signal \(x(t)\) étant toujours réel, bande étroite, aléatoire, stationnaire dordre 2 et centré, de DSP \(S_{xx}(f)\) et désignant son enveloppe complexe, on appelle composantes en phase et en quadrature de \(x(t)\) les parties réelle et imaginaire de \(\gamma_x(t)\)  : \[p(t)=\mathfrak{R}[\gamma_x(t)] \ \ \ ; \ \ \ q(t)=\mathfrak{J}[\gamma_x(t)]\]

Du fait que : \[x(t)=\mathfrak{R}\big\{\gamma_x(t)~e^{+j2\pi f_0t}\big\}\]

On a toujours : \[x(t)=p(t)\cos(2\pi f_0t)-q(t)\sin(2\pi f_0t)\]

\(\gamma_x(t)\) étant un processus aléatoire, il en est de même pour \(p(t)\) et \(q(t)\).

Nous allons montrer que \(p(t)\) et \(q(t)\) sont respectivement stationnaires d’ordre 2 et centrés, mutuellement stationnaires, puis nous calculerons leur DSP et leurs inter-spectres.

a) Processus centrés

Comme \(x(t)\) est centré : \[E[x(t)]=0=E\big[p(t)\big]\cos(2\pi f_0t)-E\big[q(t)\big]\sin(2\pi f_0t) \qquad \forall t\]

Ceci ne peut être obtenu que si : \[E\big[p(t)\big]=E\big[q(t)\big]=0 \ \ \ \ c.q.f.d.\]

b) Processus stationnaires

Comme\(x(t)\) est stationnaire d’ordre 2, \(R_{xx}\) ne dépend que de \(\tau\) : \[R_{xx}(\tau)=E\big\{\big[p(t)\cos(2\pi f_0t)-q(t)\sin(2\pi f_0t)\big] \big[p(t-\tau)\cos\big(2\pi f_0(t-\tau)\big)-q(t-\tau)\sin\big(2\pi f_0(t-\tau)\big)\big]\big\}\]

C’est-à-dire, en développant : \[\begin{aligned} R_{xx}(\tau)=&+~R_{pp}(t,\tau)~\frac{\cos2\pi f_0(2t-\tau)+\cos2\pi f_0\tau}{2}\\ &+~R_{qq}(t,\tau)~\frac{\cos2\pi f_0\tau-\cos2\pi f_0(2t-\tau)}{2}\\ &-~R_{pq}(t,\tau)~\frac{\sin2\pi f_0(2t-\tau)-\sin2\pi f_0\tau}{2}\\ &-~R_{qp}(t,\tau)~\frac{\sin2\pi f_0(2t-\tau)+\cos2\pi f_0\tau}{2}\end{aligned}\]

Pour que \(R_{xx}\) ne dépende que de \(\tau\) pour tout \(t\), il faut :
1) D’une part : \[R_{pp}(\tau)=R_{qq}(\tau) \ \ \ ; \ \ \ R_{pq}(\tau)=-R_{qp}(\tau)\]

De ce fait : \[R_{xx}(\tau)=R_{pp}(t,\tau)\cos2\pi f_0\tau+R_{pq}(t,\tau)\sin2\pi f_0\tau\]

2) D’autre part : \[R_{pp}(t,\tau)=R_{pp}(\tau) \ \ \ ; \ \ \ R_{pq}(t,\tau)=R_{pq}(\tau)\]

Donc :
.     \(p(t\)) et \(q(t)\) sont respectivement stationnaires au 2° ordre ;
.     \(p(t)\) et \(q(t)\) sont mutuellement stationnaires au 2° ordre.

On a en définitive : \[R_{xx}(\tau)=R_{pp}(t,\tau)\cos2\pi f_0t+R_{pq}(t,\tau)\sin2\pi f_0t\]

5.2. Calcul de la densité spectrale de puissance

En prenant la transformée de Fourier de la dernière relation : \[S_{xx}(f)=S_{pp}(f)\star\frac{1}{2}\big[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\big]+S_{pq}(f)\star\frac{1}{2j}\big[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\big]\]

C’est-à-dire encore : \[S_{xx}(f)=\frac{1}{2}\big[S_{pp}(f-f_0)+S_{pp}(f+f_0)\big]+\frac{1}{2j}\big[S_{pq}(f-f_0)-S_{pq}(f+f_0)\big]\]

On remarque : \[\begin{aligned} S_{xx}^+(f)&=\frac{1}{2}S_{pp}(f-f_0)+\frac{1}{2j}S_{pq}(f-f_0)\\ S_{xx}^-(f)&=\frac{1}{2}S_{pp}(f+f_0)+\frac{1}{2j}S_{pq}(f+f_0)\end{aligned}\]

On en déduit : \[\begin{aligned} S_{xx}^+(f)=\frac{1}{2}S_{pp}(f-f_0)+\frac{1}{2j}S_{pq}(f-f_0)\\ S_{xx}^-(f)=\frac{1}{2}S_{pp}(f-f_0)+\frac{1}{2j}S_{pq}(f+f_0)\end{aligned}\]

En additionnant membre à membre les deux égalités : \[S_{pp}(f)=S_{xx}^+(f+f_0)+S_{xx}^-(f-f_0)\]

En retranchant membre à membre les deux égalités : \[S_{pq}(f)=j\big[S_{xx}^+(f+f_0)-S_{xx}^-(f-f_0)\big]\]

En résumé, nous venons de montrer que si \(x(t)\) est stationnaire d’ordre 2, ses composantes en quadrature et en phase sont stationnaires d’ordre 2, centrées et mutuellement stationnaires. Leurs densités spectrales et inter-spectrales de puissance sont données par les relations : \[S_{pp}(f)=S_{qq}(f)=S_{xx}^+(f+f_0)+S_{xx}^-(f-f_0)\] \[S_{pq}(f)=-S_{qp}(f)=j\big[S_{xx}^+(f+f_0)-S_{xx}^-(f-f_0)\big]\]

5.3. Étude d’un exemple

La figure ci-dessous représente la DSP d’un processus aléatoire bande étroite centrée sur la fréquence \(f_0\) et celle du processus ramené en bande de base par translations pour construire la DSP correspondant aux composantes en phase et en quadrature : \[b(t)=p(t)\cos2\pi f_0t-q(t)\sin2\pi f_0t\]